Controle PID com aproximação Digital para utilização no PIC

controle PID

 

Muitas aplicações industriais que envolvem processos como temperatura, velocidade ou alguma grandeza analógica, quando necessitam de um controle mais refinado utilizam a técnica de controle PID. 

E existe um mito de que aplicar esta técnica PID em um sistema microcontrolado é uma tarefa muito complicada, o que não é verdade! Este artigo vem apresentar de uma maneira detalhada como funciona o conceito PID e também como podemos portá-lo para um simples microcontrolador PIC utilizando aproximações matemáticas, que reduzem drasticamente a necessidade do processamento pesado dos cálculos Integrais e Derivativos, sem comprometer a precisão final obtida com o PID.

É claro que não podemos fugir dos cálculos Integrais e derivados, já que estes são a base do PID, entretanto, no fim deste artigo, quando aproximamos matematicamente a equação PID, esta se torna linear e muito intuitiva.

 Um pouco de Controle

Segundo Ogata, o mestre do controle moderno, com a evolução da indústria, veio à modernização também das técnicas de controle automatizado que é hoje de suma importância para o avanço da Engenharia.  O controle está presente em sistemas robóticos, na indústria aeronáutica, em veículos espaciais e hoje é parte integrante e indispensável dos processos de fabricação modernos. Além de estar presente nos equipamentos de produção, tem papel fundamental no controle das utilidades necessárias aos processos, tais como, pressão, viscosidade, vazões, umidade e temperatura, entre outros.

O controle automático viabiliza a obtenção de ótimo desempenho em sistemas dinâmicos, aumenta a produtividade, suprime a atuação manual exaustiva, custosa e passível de falhas.

James Watt construiu no século XVIII um controlador centrífugo para máquinas a vapor, tendo esse sido considerado o primeiro trabalho importante no tema controle automático. Minorsky em 1922 conseguia determinar a estabilidade de navios através de equações diferenciais.  Nyquist em 1932 aplicou excitações senoidais em sistemas de malha aberta, conseguindo obter estabilidade em controles com malhas fechadas. Dois anos mais tarde, Hazen desenvolvia sistemas de controle de posição, através de servo mecanismos a reles.

Os anos 40 foram marcados pelo desenvolvimento do método chamado Lugar das Raízes. O método do Lugar das Raízes foi desenvolvido por W. R. Evans e apresentado em um artigo publicado em 1948. Este método tem por objetivo representar graficamente o deslocamento dos pólos de malha-fechada de um sistema linear quando sujeito a variação de um ou mais parâmetros.

A base da teoria clássica de controle são os métodos de resposta à frequência e do lugar das raízes. Constituem sistemas “aceitáveis”, mas não ainda não eram o que chama de controle “ótimo”. Nos anos 50 buscava-se a solução “ótima” para um problema segundo um critério específico. Mas ainda se tratava de sistemas limitados, onde havia apenas uma entrada e uma saída.

Com a chegada dos computadores digitais nos anos 60, tornou-se possível a análise de sistemas complexos no domínio do tempo, evoluindo para a teoria de controle moderno, que se baseia em analise de síntese através de variáveis de estado, tendo evoluído até os anos 80, o controle determinístico.

De 80 até hoje, os desenvolvimentos da teoria moderna têm sido concentrados em controles robustos, os computadores evoluíram, se tornando mais compactos, velozes e mais baratos e seu emprego nos sistemas de controle é cada vez maior.

Um sistema de controle é basicamente formado por um núcleo provido por entradas e saídas, conforme a figura abaixo, o núcleo, ou processo é responsável por receber adequadamente os sinais de entradas e tratar os sinais de saída para que executem o que o sistema propõe.

Sistema de controle simples

 Figura – Sistema de Controle

O Processo, ou planta, é um sistema dinâmico, seu comportamento é descrito através de modelos matemáticos de equações diferenciais. A entrada u(t) é chamada de variável de controle ou variável manipulada (MV) e a saída y(t) é chamada de variável controlada ou variável de processo (PV).

Desta maneira se caracteriza um Sistema de Controle em Malha Aberta, ondeo sinal de saída não afeta a ação de controle. Nesse sistema o sinal de saída não é medido e nem enviado de volta para comparação com o desejado. Tomemos como exemplo uma máquina de lavar roupas, que tem várias operações sequenciais programadas, como, molho, lavar, enxaguar e centrifugar, todas essas realizadas em função do tempo. Passado o tempo as operações são finalizadas e não é medido se a roupa ficou limpa ou não, se o efeito da centrifugação foi suficiente ou não.

As programações são realizadas por meio de testes prévios e não há qualquer ajuste durante o processo.  Essas programações são realizadas por meio de calibrações. Em havendo a ocorrência de qualquer distúrbio correção alguma será aplicada. Assim sendo, esse sistema de controle só deve ser aplicado em processos onde se garante a inexistência de distúrbios internos ou externos e onde se conhece muito bem as relações entre entrada e saída.

Nesse sistema as ações são tomadas somente em função do tempo. Um exemplo clássico são os semáforos operados com base no tempo.

Já em um Sistema de Controle em Malha Fechada é mantida uma relação previamente estabelecida entre a grandeza de saída y(t) e a de referencia r(t), comparando ambas e utilizando a diferença entre elas, chamada de erro e(t), como meio de controle. Sobre este sinal de erro e(t) são aplicadas operações matemáticas a fim de fazer com que seu valor chegue à zero, o que significa que a situação de controle foi alcançada.

Sistema de Controle em Malha Fechada

 Figura – Sistema de Controle em Malha Fechada

O corpo humano é um exemplo de controle complexo por malha fechada. A pressão sanguínea e a temperatura do corpo são mantidas constantes por retroação fisiológica. Por exemplo, o corpo humano sendo submetido a um ambiente aquecido transpira em busca do equilíbrio térmico, esse pode ser considerado um efeito de retroação.

Em sistemas de malha fachada, o uso da retroação o torna insensível aos distúrbios internos ou externos, tornando possível um controle preciso utilizando-se componentes de baixo custo. A busca pela estabilidade pode ser um problema nesses sistemas, pois eles induzem a tendência de correção de erros além do necessário, podendo causar oscilações de amplitude constante ou mesmo crescente com o decorrer do tempo.

Em sistemas, nos quais conhecemos as entradas e não há ocorrência de distúrbios é aconselhável o emprego de sistema a malha aberta. Os controles a malha fechada deverão ser empregados quando houver perturbações imprevisíveis. Há casos onde se pode empregar um sistema misto, ou seja, uma combinação entre controle a malha aberta e a malha fechada.

Métodos de Controle

Existem mundialmente, infinitos métodos para se controlar uma variável em um processo automatizado. Algumas delas muito difundidas e pesquisadas em todo mundo acadêmico, desde o controle On-Off, passando pelo PID, logica difusa (controle Fuzzy) até as recentes redes neurais que despontam na vanguarda do controle automatizado e prometem muito para um futuro muito próximo.

Controle ON-OFF

Em se tratando de controle de temperatura, uma grande parcela dos sistemas encontrados no mercado utilizam ainda o método On-Off que consiste em se determinar uma temperatura de trabalho, chamada de setpoint, onde o sistema de refrigeração irá operar de modo a ligar a refrigeração em sua máxima potência quando detectada temperatura acima do “setpoint” e mantê-la ligada até a temperatura se torne menor que o valor do “setpoint”.

Neste método de controle, o sistema atua através de um termostato, conforme a figura:

Controle ON-OFF

O sinal de controle u(t) só pode assumir dois valores, ligado ou desligado, conforme o valor do erro apresentado seja positivo ou negativo. Matematicamente:

O sinal de controle u(t) só pode assumir dois valores

Podemos notar que não existe valor de u(t) quando e(t) = 0, isso causa uma grande variação na temperatura do ambiente controlado que em muitos casos pode aceitar esta variação.

Um grande problema deste sistema ocorre quando a temperatura y(t) está muito próxima ao valor do setpoint r(t). Neste caso, u(t) poderá entrar em oscilação devido à proximidade destes valores. Para resolver este problema podemos utilizar o método de controle ON-OFF com histerese, conforme figura abaixo.

Sistema de Controle ON-OFF com histerese

Esta modificação pode ser demonstrada da seguinte maneira:

Desta forma, cria-se uma banda morta entre o “setpoint” que acionará o sistema de refrigeração e o “setpoint” que desligará este mesmo sistema. Isso acaba com o problema de oscilações no acionamento do sistema, por outro lado, aumenta ainda mais a variação da variável controlada y(t), portanto, quando precisamos que o controle seja mais eficaz ao ponto de manter essa variação de temperatura do ambiente em níveis muito pequenos faz-se necessário a aplicação de métodos de controle mais complexos.

Controle Proporcional

Depois do controle ON-OFF, em termos de simplicidade, pode-se utilizar o controle proporcional que já permite alguma melhora na resposta da saída controlada e que trata basicamente de se pegar o erro do sistema e(t) e aplicar um ganho fixo (constante de proporcionalidade Kp) antes da realimentação.

Sistema de Controle Proporcional

 Controle Proporcional

Assim, o sinal aplicado à planta, será sempre inversamente proporcional ao módulo do erro e(t).

Quanto maior o ganho Kp, menor será o erro em regime permanente, ou seja, melhor a precisão do sistema em malha fechada. O erro e(t) será diminuído com o aumento de Kp, porém nunca poderá ser anulado. Em contrapartida, quanto maior o ganho Kp, mais oscilatório o sistema tende a ficar, podendo chegar à instabilidade do sistema.

Ação proporcional

 Figura – Ação proporcional: Kp=1 (contínuo),Kp=2 (tracejado), Kp=4(pontilhado).

Controle Integral

O controle integral consiste, assim como seu nome sugere, em se aplicar ao sinal de controle u(t), um ganho Ki proporcional a integral do sinal de erro e(t), onde Ki é a constante ajustável.

  Sistema de Controle Integral
Controle Integral
Se o valor de e(t) for dobrado, então o valor de u(t) varia duas vezes mais rápido. Para erro nulo, o valor de u(t) permanece estacionário. A ação de controle integral é muitas vezes denominada de controle de reestabelecimento (reset) (OGATA).

O Controle integral não é isoladamente uma técnica de controle. Deve ser associada a outras como a proporcional-integral ou, como nosso caso, a proporcional-integral-derivativa (PID).

Controle Derivativo

Assim como o controle integral, o controle derivativo não é uma técnica de controle utilizada isoladamente.

A ação de controle derivativa, quando adicionada a um controlador proporcional, propicia um meio de obter um controlador com alta sensibilidade. Uma vantagem em se usar ação de controle derivativa é que ela responde à taxa de variação do erro atuante e pode produzir uma correção significativa antes de o valor do erro atuante tornar-se demasiadamente grande. O controle derivativo, portanto, antecipa o erro atuante e inicia uma ação corretiva mais cedo, tendendo a aumentar a estabilidade do sistema (OGATA, 2003).

Sistema de Controle Derivativo

Controle Derivativo

Controle Proporcional Integral Derivativo (PID)

A combinação das técnicas de controle proporcional, integral e derivativo é conhecida como controle PID, que soma a ação proporcional às ações integral e derivativa. A ação integral elimina o erro em um regime estacionário, pois apresenta um resultado não nulo quando o erro do sistema for nulo. Por outro lado, a ação integral pode introduzir oscilação na resposta devido ao aumento da ordem do sistema. A ação derivativa antecipa o erro e produz uma ação corretiva mais cedo e proporcional à taxa de variação do erro atual.

Sistema de controle PID

Equação Sistema de controle PID

Implementação do PID Digital

A equação do PID é bastante complexa e quando executado em tempo real durante o processo de controle exige muito processamento. Os controladores comerciais destinados a esta tarefa, devido ao custo de produção, não possuem capacidade para processar todos os cálculos desta equação em tempo real, desta forma, para aplicarmos o controle PID em um microcontrolador da Família PIC, por exemplo, temos que deduzir a equação para um formato digital e adotar algumas aproximações nos termos integral e derivativo.

Existem inúmeras maneiras para discretização, ou aproximação digital, de uma equação em tempo discreto, objetivando a obtenção final da equação das diferenças a ser implementada no microcontrolador.

Aproximação da derivada pelo método de Euler:

Uma das técnicas mais comuns para fazer estas aproximações consiste na estratégia de derivação por emulação. Nela a primeira derivada no tempo de uma função é aproximada por uma diferença no tempo conforme a equação:

DERIVADA PELO MÉTODO DE EULER

Pode-se observar o resultado desta aproximação na figura a seguir, comparando u(t) original com o sinal discretizado:

 

Gráfico de aproximação pelo método de Euler

Aproximação da integral pela transformação de Tustin

Esta regra consiste em aproximar uma integral pela regra trapezoidal, da seguinte maneira:

 INTEGRAL PELA TRANSFORMAÇÃO DE TUSTIN

Aplicando a técnica, aproxima-seno intervalo T e defini-se   u(kT) como a área acumulada dos trapézios até o instante kT , restando:

 INTEGRAL PELA TRANSFORMAÇÃO DE TUSTIN

Esta técnica está representada na figura a seguir:

Gráfico de aproximação por Transformada de Tustin

Equação Final do PID Digital – Linear 

Aplicadas às aproximações tem-se novamente a equação completa para o controle PID ajustada à utilização em microcontroladores:

Equação Final do PID Digital - Linear

Equação Final do PID Digital - Linear

Esta equação linear pode facilmente ser aplicada em um programa escrito para micontroladores sem exigir o grande processamento (às vezes inviável) das equações Integrais e Derivativas.

O próximo passo é a sintonia deste sistema e a determinação dos ganhos Kp, Ki e Kd, mas isso merece um artigo inteiro, dada sua complexidade. Enquanto isso, para estudar o funcionamento da equação, podemos determiná-los empiricamente durantes os testes de nossa aplicação. A sintonia deve ser realizada sempre que ocorram mudanças significativas nas variáveis do processo, como o aumento da carga térmica do ambiente ou potência do trocador de calor, no caso de um sistema de refrigeração, por exemplo.

 

Marcelo Maciel

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Engenheiro de Controle e Automação e Técnico Eletrônico com mais de 10 anos de experiência no desenvolvimento de dispositivos microcontrolados para pequenas e médias empresas em diversos ramos. Além disso, possui vivência na área de Automação em grandes empresas desde 1999.


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